Ahli belajar (learning theorist) Gagne (dikutip oleh Fadjar Shadiq, https://fadjarp3g.files.wordpress.com/2008/12/download_08_gagne_median_1.pdf) telah membagi objek-objek matematika,
yaitu materi yang dipelajari siswa menjadi objek langsung dan objek tak
langsung. Objek langsungnya adalah fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan
(FKPK). Sedangkan objek tak langsungnya adalah kemampuan yang secara tak
langsung akan dipelajari siswa ketika mereka mempelajari objek langsung
matematika seperti kemampuan: berpikir logis, kemampuan memecahkan
masalah, sikap positif terhadap matematika, ketekunan, ketelitian, dan lainlain.
Berkait dengan pembagian ini, kemungkinan besar akan muncul dua
pertanyaan penting pada diri pembaca, yaitu:
• Apa itu fakta, konsep, prinsip, ataupun keterampilan?
• Apa pentingnya pembagian itu pada pembelajaran matematika?
Jenis-Jenis Materi Pendidikan / Pembelajaran Jenis-jenis materi pembelajaran dapat diklasifikasi sebagai berikut.
A. Fakta
Fakta dalam matematika bisa berupa aksioma atau postulat. Aksioma adalah pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian, sebagai titik awal logika. Aksioma hanya memuat istilah tak terdefinisi dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri, dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun sistem tersebut , dan tidak saling bertentangan.
Contoh:
Apabila a dan b adalah bilangan real, maka berlaku a > b, a = b, atau a < b, pernyataan ini merupakan sebuah aksioma.
Fakta adalah konvensi (kesepakatan) dalam matematika
seperti lambang, notasi, ataupun aturan seperti 5 + 2 × 10 = 5 + 20, di mana
operasi perkalian didahulukan dari operasi penjumlahan. Jadi tidak benar
bahwa 5 + 2 ×10 = 7 × 10. Lambang “1” untuk menyatakan banyaknya sesuatu
yang tunggal merupakan contoh dari fakta. Begitu juga lambang “+”, “–“,
ataupun ”×” untuk operasi penjumlahan, pengurangan, ataupun perkalian.
Seorang siswa dinyatakan telah menguasai fakta jika ia dapat menuliskan fakta
tersebut dan menggunakannya dengan benar. Karenanya, cara mengajarkan
fakta adalah dengan menghafal, drill, ataupun peragaan yang berulang-ulang.
B. Konsep
Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek, apakah objek tertentu merupakan contoh konsep atau bukan. Contoh konsep abstrak misalnya Segitiga, Bil Asli, Bil Prima, dll. Contoh konsep kongkrit misalnya Penggaris, Jangka, meja, kursi, dll.
Konsep dalam matematika dapat berupa istilah dan simbol, dimana dalam istilah ini ada yang dapat didefinisikan dan ada pula yang tidak dapat didefinisikan:
- Istilah tak terdefinisi : Istilah tak terdifinisi merupakan istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi dideskripsikan. Contohnya pada sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi seperti himpunan, grup, gelanggang, ruang vektor, titik, garis, dan bidang.
- Istilah terdefinisi : Istilah terdifinisi merupakan istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Contohnya dalam matematika, kita bias mengenal istilah terdefinisi seperti fungsi, matriks dan vector.
Berbeda dengan fakta yang merupakan
kesepakatan, konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan seseorang
untuk mengklasifikasi suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut
merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Seorang siswa
disebut telah mempelajari konsep segitiga jika ia telah dapat membedakan yang
termasuk segitiga dari yang bukan segitiga. Untuk sampai ke tingkat tersebut,
siswa harus dapat mengenali atribut atau sifat-sifat khusus dari segitiga.
Ada
empat cara mengajarkan konsep, yaitu:
1. Dengan cara membandingkan obyek matematika yang termasuk konsep dan
yang tidak termasuk konsep. Sebagai contoh, ketika membahas pengertian
segitiga siku-siku, seorang guru dapat memaparkan gambar bangun datar
yang merupakan segitiga siku-siku dan yang bukan segitiga siku-siku.
2. Pendekatan deduktif, dimana proses pembelajarannya dimulai dari definisi
dan diikuti dengan contoh-contoh dan yang bukan contohnya. Ketika
membahas pengertian atau konsep segitiga siku-siku; seorang guru SD dapat
memulai proses pembelajarannya dengan mengemukakan definisi bahwa:
“Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga yang salah satu sudutnya
berbentuk siku-siku. Dengan definisi atau pengertian itu sang guru lalu
membahas contoh segitiga siku-siku dan yang bukan segitiga siku-siku. Hal
ini dapat dilakukan dengan tanya jawab, sehingga para siswa dapat menentukan mana yang termasuk segitiga siku-siku dan mana yang bukan
beserta sebab-sebabnya.
3. Pendekatan induktif, dimulai dari contoh lalu membahas definisinya.
Dapatkah Anda membuat contohnya sendiri seperti yang pernah Anda
lakukan atau praktekkan di kelas?
4. Kombinasi deduktif dan induktif, dimulai dari contoh lalu membahas
definisinya dan kembali ke contoh, atau dimulai dari definisi lalu membahas
contohnya lalu kembali membahas definisinya.
C. Prinsip
Prinsip dalam matematika dapat berupa teorema atau dalil. Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan. Suatu teorema terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan, yang dapat dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi, aksioma, dan pernyataan benar lainnya.
Contoh Teorema: Jumlah sudut luar segitiga sama dengan 360^o.
Prinsip adalah suatu pernyataan yang memuat hubungan antara dua konsep
atau lebih.
Contohnya, rumus luas segitiga berikut:
L = 1/2 . a . t
Pada rumus luas segitiga di atas, didapati adanya beberapa konsep yang
digunakan, yaitu konsep luas, konsep panjang alas segitiga dan konsep tinggi
segitiga.
D. Prosedur
Prosedur dalam matematika adalah langkah atau urutan atau cara yang digunakan untuk menyelesaikan tugas-tugas matematika yang mencakup langkah demi langkah dalam melakukan tugas.
Berbeda dengan fakta yang merupakan kesepakatan, berbeda juga dengan
konsep yang merupakan ide abstrak, dan tentunya akan berbeda pula dengan
prinsip yang merupakan rumus atau teorema; keterampilan adalah suatu
prosedur atau aturan untuk mendapatkan atau memperoleh suatu hasil
tertentu. Seorang siswa dinyatakan belum menguasai suatu keterampilan jika ia tidak
menghasilkan suatu penyelesaian yang benar atau tidak dapat menggunakan
dengan tepat suatu prosedur atau aturan yang ada. Kesimpulannya, seorang siswa dinyatakan telah menguasai suatu
keterampilan jika ia dapat menggunakan dengan tepat suatu prosedur atau
aturan dan dapat menghasilkan suatu penyelesaian yang benar.
Contoh:
Untuk menentukan vektor resultan (vektor pengganti) 2 buah vektor dapat dilakukan dengan cara:
- Cara Jajaran Genjang
- Cara Segitiga Vektor
- Cara Polygon
